로또 확률 계산과 “패턴 전략”이 통하지 않는 이유

45개 중 6개, 조합의 수가 8,145,060이 되는 계산

로또 6/45는 1부터 45까지 중 6개를 고르고, 추첨된 6개와 몇 개가 일치하는지로 등위를 정합니다. 순서를 따지지 않으므로 가능한 묶음의 수는 조합 45C6이고, 45×44×43×42×41×40 = 5,864,443,200 을 6×5×4×3×2×1 = 720 으로 나눈 8,145,060 입니다. 어떤 6개를 고르든 이 8,145,060개 중 하나이므로 1등 확률은 1/8,145,060 입니다.

2등 이하는 당첨번호 6개 중 몇 개를 맞추고 나머지를 당첨번호가 아닌 번호에서 골랐는지로 셉니다. 별도로 하나 더 뽑는 보너스 번호는 5개를 맞춘 사람을 2등과 3등으로 가르는 데만 쓰입니다.

3등 계산식에 38, 4·5등에 39가 들어가는 이유가 여기 있습니다. 4개를 맞췄다면 나머지 2개는 당첨번호를 뺀 39개 중 무엇이든 되고, 보너스가 섞여도 4등입니다. 5개를 맞춘 경우 나머지 1개가 보너스이면 2등으로 올라가므로, 3등은 보너스까지 뺀 38개 중 하나일 때만 셉니다.

홀짝 3:3이 가장 자주 나오는 것은 확률상 당연하다

1부터 45까지 홀수는 23개, 짝수는 22개입니다. 홀수 3개·짝수 3개 조합의 수는 23개 중 3개를 고르는 23C3 = 1,771 에 22C3 = 1,540 을 곱한 2,727,340 개로, 전체의 33.48%입니다.

추첨 100회 중 3:3이 33회쯤 나오는 것은 조합 수가 그렇게 생겼기 때문입니다. 착각은 그다음, “3:3이 33%나 되니 3:3으로 고르면 유리하다”에서 생깁니다. 당첨 조합이 3:3 그룹에 속할 확률은 33.48%가 맞지만, 내가 고른 조합 하나가 그 그룹 2,727,340개 중에서 뽑힐 확률은 1/2,727,340입니다. 둘을 곱하면 2,727,340/8,145,060 × 1/2,727,340 = 1/8,145,060, 원래 확률로 정확히 돌아옵니다. 그룹이 클수록 그 안에서 내 표가 뽑힐 확률이 그만큼 작아져 상쇄되기 때문입니다.

연속번호·구간 분산·오래 안 나온 번호가 힌트가 아닌 이유

“연속번호는 잘 안 나온다”부터 계산해 보면 반대입니다. 이웃한 번호가 하나도 없는 조합의 수는 40C6 = 3,838,380 개로 전체의 47.13%입니다. 6개를 작은 순서로 놓고 0, 1, 2, 3, 4, 5를 차례로 빼면 1~40에서 6개를 고른 것과 일대일로 대응하기 때문입니다. 즉 추첨 결과의 52.87%, 과반이 연속한 두 수를 하나 이상 포함합니다.

“구간을 골고루 섞어야 한다”도 같은 구조입니다. 6개가 전부 1~10에서 나오는 조합은 10C6 = 210 개, 전체의 0.0026%이니 그런 결과가 드문 것은 사실입니다. 그러나 드물다는 것은 그런 모양의 조합이 적다는 뜻이지, 골고루 퍼진 조합 하나하나가 유리하다는 뜻이 아닙니다.

“오래 안 나온 번호”는 늘 존재하는 것이 정상입니다. 특정 번호가 한 회에 당첨번호 6개에 들 확률은 6/45 = 13.3%이고, 10회 연속 들지 못할 확률은 (39/45)의 10제곱 = 23.9%입니다. 45개 중 평균 10.8개는 최근 10회 동안 한 번도 안 나온 상태라는 뜻이고, 20회 연속이면 5.7%로 2~3개입니다. 추첨기는 지난 회를 기억하지 않으므로, 20회 안 나온 번호가 다음 회에 나올 확률도 여전히 13.3%입니다.

기대값을 바꾸는 유일한 변수, 남과 겹치지 않는 번호

당첨 확률은 어떻게 골라도 같지만 당첨됐을 때 받는 금액은 다를 수 있습니다. 동행복권 안내에 따르면 총 당첨금은 해당 회차 판매액의 50%이고, 4등 50,000원과 5등 5,000원을 고정 지급한 뒤 남은 금액을 1등 75%, 2등 12.5%, 3등 12.5%로 나눕니다. 1~3등은 등위별 금액을 당첨자 수로 나누어 지급하며, 1등이 없으면 다음 회차 1등 당첨금에 더해집니다(이월은 최대 연속 두 번).

이 “나누어 지급”이 번호 선택이 개입할 수 있는 유일한 자리입니다. 어느 회차의 1등 총액이 20억원일 때 당첨자가 나 혼자면 20억원(세전)이지만, 같은 조합을 고른 사람이 4명 더 있으면 각 4억원입니다. 뒤에서 보는 세율을 적용하면 실수령은 13억 7,300만원 대 3억 100만원입니다. 고정 금액인 4·5등에는 이런 영향이 없습니다.

어떤 조합이 겹치기 쉬운지는 확률이 아니라 사람의 습관 문제입니다. 1·2·3·4·5·6 같은 규칙적 나열, 마킹 용지에서 직선이나 대각선을 이루는 배치, 생일에서 나오는 1~31 사이 숫자로만 채운 조합은 같은 생각으로 고른 사람이 많을 가능성이 큽니다. 당첨 확률이 낮은 것이 아니라 나눌 사람이 많을 위험이 큰 것이고, 자동 선택은 이 위험을 없애는 가장 단순한 방법입니다.

이월 회차는 지난 회의 1등 몫이 더해져 기대 환급이 올라가는 유일한 경우이지만, 판매량도 함께 늘어 상승폭은 생각보다 작고 확률은 그대로 1/8,145,060입니다.

당첨금 세금 – 200만원까지 비과세, 3억 초과분만 33%

복권 당첨금은 소득세법 제21조 제1항 제2호의 기타소득이며, 같은 법 제14조 제3항 제8호 라목에 따라 다른 소득과 합산하지 않는 분리과세 대상입니다. 지급할 때 원천징수하는 것으로 과세가 끝납니다. 2026년 9월 기준 현행 조문은 세 단계입니다.

1. 1건별 200만원 이하이면 소득세를 과세하지 않습니다(소득세법 제84조 제2호). 흔히 말하는 “5만원 이하 비과세”는 같은 조 제3호 “그 밖의 기타소득”의 기준이고, 복권에는 200만원이 적용됩니다.
2. 2200만원을 넘으면 전액에 소득세 20%를 원천징수하고, 3억원을 초과하는 경우 “그 초과하는 분”에만 30%를 적용합니다(소득세법 제129조 제1항 제6호).
3. 3원천징수하는 소득세의 10%를 개인지방소득세로 함께 특별징수합니다(지방세법 제103조의13 제1항). 그래서 실제 공제율은 22%, 3억 초과분은 33%이며, 동행복권 안내의 “주민세”가 이것입니다.

표에서 함정이 둘 보입니다. 첫째, 200만원은 공제액이 아니라 문턱입니다. 3등이 200만원이면 전액 받지만 201만원이면 201만원 전체에 22%가 붙어 156만 7,800원을 받습니다. 둘째, “3억 넘으면 전부 33%”는 오해입니다. 4억원이면 4억 × 33% = 1억 3,200만원이 아니라 3억 × 22% + 1억 × 33% = 9,900만원이 세금이고, 실수령은 3억 100만원입니다.

1게임 1,000원의 기대 환급이 500원인 이유와 세후 계산

총 당첨금이 판매액의 50%라는 규정은 판매된 1,000원마다 평균 500원이 당첨금으로 돌아간다는 뜻입니다. 이월과 미수령을 빼면 1게임의 세전 기대 환급은 정확히 500원이고, 등위별로 나누면 다음과 같습니다.

• 5등: 5,000원 × 182,780/8,145,060 = 112.2원
• 4등: 50,000원 × 11,115/8,145,060 = 68.2원
• 4·5등 고정분 합계 180.4원. 나머지 319.6원이 1~3등 몫이며, 75 : 12.5 : 12.5로 나누면 1등 239.7원, 2등 40.0원, 3등 40.0원입니다.

세후로는 더 줄어듭니다. 1등 단독 20억원(실효세율 31.35%), 2등 22%, 3등 200만원 이하 비과세로 가정하면 239.7 × 0.6865 + 40.0 × 0.78 + 40.0 + 180.4 ≈ 416원입니다. 1,000원 중 평균 580원 남짓은 돌아오지 않으며, 이 숫자는 어떤 번호 전략으로도 바뀌지 않습니다.

규모의 감각도 필요합니다. 1등을 평균 한 번 맞추려면 8,145,060게임, 81억 4,506만원어치를 사야 합니다. 매주 5게임을 50년 동안 사면 13,000게임인데, 그동안 1등을 한 번이라도 맞출 확률은 0.16%입니다.

구매·추첨·수령 실무 정보와 판단 기준

• 번호 고르는 방법으로 당첨 확률을 바꿀 수는 없습니다. 어떤 조합이든 1/8,145,060, 5등 이상은 약 1/42입니다.
• 홀짝·연속·구간 통계는 조합 수의 반영이지 예측이 아니며, “오래 안 나온 번호”는 늘 존재하는 정상 상태입니다.
• 번호 선택이 바꾸는 것은 당첨 시 분배 인원뿐입니다. 규칙적 나열·직선 배치·생일 숫자만의 조합을 피하거나 자동 선택을 씁니다.
• 세금은 200만원 이하 비과세, 넘으면 전액 22%, 3억 초과분만 33%입니다. 200만원은 공제가 아니라 문턱입니다.
• 1게임의 기대 환급은 세전 500원, 세후 400원대 초반입니다. 손실이 정해진 오락으로 보고 금액을 정하는 것이 맞습니다.